求解简单三角函数方程 - 彩色打印版
基本形式：
• sin θ = k（其中 -1 ≤ k ≤ 1）
• cos θ = k（其中 -1 ≤ k ≤ 1）
• tan θ = p（其中 p ∈ ℝ）
| 方程类型 | 解的存在性条件 | 说明 |
|---|---|---|
| sin θ = k | -1 ≤ k ≤ 1 | 正弦函数的值域为[-1, 1] |
| cos θ = k | -1 ≤ k ≤ 1 | 余弦函数的值域为[-1, 1] |
| tan θ = p | p ∈ ℝ | 正切函数的值域为全体实数 |
计算器给出的主值范围：
• cos⁻¹：0 ≤ θ ≤ 180°（或 0 ≤ θ ≤ π 弧度）
• sin⁻¹：-90° ≤ θ ≤ 90°（或 -π/2 ≤ θ ≤ π/2 弧度）
• tan⁻¹：-90° ≤ θ ≤ 90°（或 -π/2 ≤ θ ≤ π/2 弧度）
| 象限 | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|
| 第一象限 (0° < θ < 90°) | + | + | + |
| 第二象限 (90° < θ < 180°) | + | - | - |
| 第三象限 (180° < θ < 270°) | - | - | + |
| 第四象限 (270° < θ < 360°) | - | + | - |
1. 使用计算器：sin⁻¹(1/2) = 30°
2. 由于 sin θ 在第一象限和第二象限都是正值，我们需要找到两个解：
• θ = 30°（第一象限）
• θ = 180° - 30° = 150°（第二象限）
3. 因此，在区间 0 ≤ θ ≤ 360° 内，解为 θ = 30° 和 θ = 150°
1. 使用计算器：cos⁻¹(√3/2) = 30°
2. 由于 cos x 在第一象限和第四象限都是正值，我们需要找到两个解：
• x = 30°（第一象限）
• x = 360° - 30° = 330°（第四象限）
3. 因此，在区间 0 < x ≤ 360° 内，解为 x = 30° 和 x = 330°
1. 将方程两边除以 cos θ：sin θ/cos θ = √3
2. 使用恒等式：tan θ = √3
3. 使用计算器：tan⁻¹(√3) = π/3
4. 由于 tan θ 的周期是 π，在区间 0 ≤ θ ≤ 2π 内：
• θ = π/3（第一象限）
• θ = π/3 + π = 4π/3（第三象限）
5. 因此，解为 θ = π/3 和 θ = 4π/3
解的存在性
在求解 sin θ = k 或 cos θ = k 时，必须首先检查 |k| ≤ 1。如果 |k| > 1，则方程无解。
常见错误
1. 忘记检查解的存在性条件
2. 混淆不同象限中三角函数值的符号
3. 忽略三角函数的周期性
4. 计算器给出的角度单位与题目要求不符
求解简单三角函数方程的关键要点：
1. 确定解的存在性条件
2. 使用计算器找到主解
3. 利用三角函数的对称性和周期性
4. 注意不同象限中三角函数值的符号
5. 可以使用恒等式简化方程
6. 验证解的正确性
学习建议
在求解三角函数方程时，建议先画出相应的三角函数图像，这样可以更直观地理解解的位置和数量。